Question

设函数f（x）=

ex

x2

-k（

2

x

+lnx）（k为常数，e为自然对数的底数）．
（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当k=0时，函数f（x）=

ex

x2

（x≠0）．f′（x）=

x(x-2)ex

x4

．分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范围即可．
（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，?f′（x）=0有两个实数根．化为k=

ex

x

，因此k=

ex

x

在（0，2）内存在两个实数根．利用导数研究其单调性极值即可．

解答： 解：（1）当k=0时，函数f（x）=

ex

x2

（x＞0）．
f′（x）=

x(x-2)ex

x4

．
令f′（x）＞0，解得x＞2．令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；在（0，2）上单调递减．
（2）∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
∴f′（x）=

(x-2)ex

x3

-k(-

2

x2

+

1

x

)=0有两个实数根．
化为k=

ex

x

，
∴k=

ex

x

在（0，2）内存在两个实数根．
设h（x）=

ex

x

，x∈（0，2）．则h′（x）=

(x-1)ex

x2

．
令h′（x）=0，解得x=1．
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1．
∴函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，2）上单调递增．
∴当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=e．
而h（2）=

e2

2

，h（0）→+∞．
∴e＜k＜

e2

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了方程的实数根等价转化为函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．