Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x
（1）若x∈[-4，-2]时，求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-4，-2]时，f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，结合已知当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x可求f（x+4），由f（x+4）=3f（x+2）=9f（x），代入可求f（x）
（2）由x∈[-4，-2]时，f(x)=

1

9

(x2+6x+8)=

(x+3)2-1

9

，结合而成函数的性质可求f（x）的最小值，而由f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，可得f（x）_min≥

3 t -t

18

，解不等式可求t的范围

解答：解：（1）设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8
又∵f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）=x²+6x+8
∴f(x)=

1

9

(x2+6x+8)
（2）∵x∈[-4，-2]时，f(x)=

1

9

(x2+6x+8)=

(x+3)2-1

9

当x=-2时，f（x）_min=f（-3）=-

1

9

则由f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，可得-

1

9

≥

3 t -t

18

整理可得，

(t-3)(t+1)

t

≥0
∴-1≤t＜0或t≥3

点评：本题主要考查了利用已知抽象函数的关系求解函数的解系式，解题的关键是由已知推出f（x+4）=9f（x），而函数的恒成立问题往往转化为函数的最值的求解，属于中档试题