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    【题目】已知正三角形 的边长为3， 分别是边上的点，满足 (如图1)．将折起到的位置，使平面平面，连接(如图2)．

    (1)求证：平面 ；

    (2)求二面角的余弦值．

    【答案】(1)见证明；(2)

    【解析】

    （1）在图中，取的中点，连接，证明是等边三角形，由此证得，即在图中有，根据面面垂直的性质定理可证得平面.（2）以为原点，以向量的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和的法向量，计算二面角的余弦值.

    解：（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．

    ∵，

    ∴.

    而，∴是正三角形．

    又，∴

    即在图2中，，

    ∵平面平面，平面平面，

    平面.

    （2）由（1）知，即平面，．

    以E为原点，以向量的方向为轴的正方向建立如图所示的坐标系，

    则.

    .

    设分别是平面和平面的法向量，

    由，得，

    取，得，

    由，得，

    取，得，

    所以.

    因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

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    （1）求证：面面；

    （2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

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    【题目】如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1．

    （Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；

    （Ⅱ）当AD＝1时，求直线FB与平面DFC所成角的正弦值．

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    【题目】（1）某校夏令营有3名男同学A、B、C和3名女同学X、Y、Z，其年级情况如下表：

    一年级

    二年级

    三年级

    男同学

    A

    B

    C

    女同学

    X

    Y

    Z

    现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．

    ①用表中字母列举出所有可能的结果；

    ②设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．

    （2）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是多少？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】给出以下三个命题：

    ①若，则；

    ②在中，若，则；

    ③在一元二次方程中，若，则方程有实数根．

    其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题的是________．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】选修4-4坐标系与参数方程选讲

    在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点．

    （1）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程：

    （2）若成等比数列，求实数的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交元的管理费，预计当每件商品的售价为元时，一年的销售量为万件.

    （1）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；

    （2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求出的最大值.

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    【题目】如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，是的中点，平面，且，如图2.

    （1）求证：平面；

    （2）求平面与平面所成角的余弦值；

    （3）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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    【题目】某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.

    （1）求图中x的值；

    （2）求这组数据的平均数和中位数；

    （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

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