Question

已知P（2，0）为圆C：x²+y²-2x+2my+m²-7=0（m＞0）内一点，过点P的直线AB交圆C于A，B两点，若△ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．

解答： 解：圆的标准方程为（x-1）²+（y+m）²=8，
则圆心C（1，-m），半径r=2

2

，
S_△ABC=

1

2

r²sin∠ACB≤8sin∠ACB，
∴当∠ACB=90时S取最大值4，
此时△ABC为等腰直角三角形，AB=

2

r=4，
则C到AB距离等于2，
∴2≤PC＜2

2

，
即2≤

(2-1)2+m2

＜2

2

，
∴4≤m²+1＜8，
即3≤m²＜7，
∵m＞0，
∴解得

3

≤m＜

7

，
故答案为：[

3

，

7

）

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．