Question

4．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为边长为4的正方形，M是BC的中点，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF=$2\sqrt{2}$．
（1）求证：ME⊥平面ADE；
（2）求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点N，连结NM，NE，推导出AD⊥ME，过E点，作EO⊥NM于O，推导出NE⊥ME，由此能证明ME⊥面ADE．
（2）建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．

解答 证明：（1）取AD的中点N，连结NM，NE，
则AD⊥NM，AD⊥NE，
∵NM∩NE=N，∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，
过E点，作EO⊥NM于O，
根据题意得NO=1，OM=3，NE=2，∴OE=$\sqrt{3}$，EM=2$\sqrt{3}$，
∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，
∴ME⊥面ADE．
解：（2）如图建立空间直角坐标系O-xyz，根据题意得：
A（2，-1，0），B（2，3，0），D（-2，-1，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，3，0），
设平面BAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=4y=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=-2x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，2），
由（1）知$\overrightarrow{ME}$=（0，-3，$\sqrt{3}$）为平面ADE的法向量，
设二面角B-AE-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ME}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{ME}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角B-AE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．