Question

2．设圆${C_1}：{（x+\sqrt{5}）^2}+{y^2}$=4与圆${C_2}：{（x-\sqrt{5}）^2}+{y^2}$=4，动圆C与圆C₁外切，与圆C₂内切．
（1）求动圆C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点$M（2\sqrt{5}，1）$，P为L上动点，求|MP|+|C₂P|最小值．

Answer 1

分析 （1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC₁|=r+2，|MC₂|=r-2，可得|MC₁|-|MC₂|=r+2-r+2=4＜|C₁C₂|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．
（2）利用双曲线的定义，即可得出结论．

解答 解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC₁|=r+2，|MC₂|=r-2，
∴|MC₁|-|MC₂|=r+2-r+2=4＜|C₁C₂|=2$\sqrt{5}$，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的双曲线的右支，且2a=4，a=2，b=1，
双曲线的方程为：$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1（x≥2）$；
（2）|MP|+|C₂P|=|MP|+|C₁P|-2a≥|MC₁|-2a=$\sqrt{46}-4$，
∴|MP|+|C₂P|最小值为$\sqrt{46}-4$．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．