Question

7．平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=2sinφ\end{array}$（φ为参数）（a＞0）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相等的长度单位建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为：2ρcosθ+3ρsinθ-8=0．已知曲线C₁与曲线C₂的一个交点在x轴上．
（1）求a的值及曲线C₁的普通方程；
（2）已知点A，B是极坐标方程θ=α，θ=α+$\frac{π}{2}$的两条射线与曲线C₁的交点，求$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=2sinφ\end{array}$（φ为参数）（a＞0），已知曲线C₁与曲线C₂的一个交点在x轴上，求a的值，即可求出曲线C₁的普通方程；
（2）化点A，B的极坐标为直角坐标后代入曲线C₁的直角坐标方程，整理后即可得到$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

解答 解：（1）曲线C₂的极坐标方程为：2ρcosθ+3ρsinθ-8=0，直角坐标方程为2x+3y-8=0，
令y=0，可得x=4，
∵曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=2sinφ\end{array}$（φ为参数）（a＞0），已知曲线C₁与曲线C₂的一个交点在x轴上．
∴$\left\{\begin{array}{l}{acosφ=4}\\{2sinφ=0}\end{array}\right.$，∴a=4，
∴曲线C₁的普通方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）由题意得点A，B的直角坐标分别为（ρ₁cosα，ρ₁sinα），（ρ₂cos（α+$\frac{π}{2}$），ρ₂sin（α+$\frac{π}{2}$））．
∵点A，B在曲线C₁ 上，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{16}+\frac{{{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$=1，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{16}+\frac{{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$=1．
∴$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{16}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$=$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查了圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程，考查了数学转化与化归的思想方法，训练了三角函数的诱导公式，是中档题．