Question

17．（1）已知函数f（x）=4x²-kx-8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．
（2）关于x的方程mx²+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一个大于4，另一个小于4，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要使函数f（x）=4x²-kx-8在[5，20]上具有单调性，则$\frac{k}{8}$≤5或$\frac{k}{8}$≥20，解得实数k的取值范围．
（2）当m=0时显然不合题意．当m≠0时，若两根一个大于4，另一个小于4，则$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ f（4）＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ f（4）＞0\end{array}\right.$，解得m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=4x²-kx-8的图象是开口朝上，且以x=$\frac{k}{8}$为对称轴的抛物线，
要使函数f（x）=4x²-kx-8在[5，20]上具有单调性，
则$\frac{k}{8}$≤5或$\frac{k}{8}$≥20，
解得k≤40或k≥160．…（6分）
（2）设f（x）=mx²+2（m+3）x+2m+14，
当m=0时显然不合题意．
当m≠0时，若两根一个大于4，另一个小于4，
则$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ f（4）＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ f（4）＞0\end{array}\right.$…（8分）
即$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\ 26m+38＜0\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ 26m+38＞0\end{array}\right.$…（10分）
从而得$-\frac{19}{13}＜m＜0$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根的个数及存在性判断，函数的单调性，难度中档．