Question

15．区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁．已知函数y=4^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，4]，则区间[a，b]长度的最大值与最小值之差为1．

Answer 1

分析 根据题意可知当x≥0时，函数的定义域为[0，1]；当x≤0时，函数的定义域为[-1，0]．所以函数的定义域为[-1，1]此时长度为最大等于1-（-1）=2，而[0，1]或[-1，0]都可为区间的最小长度等于1，所以最大值与最小值的差为1．

解答 解：当x≥0时，y=4^x，因为函数值域为[1，4]即1=4⁰≤4^x≤4=4¹，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；
当x≤0时，y=4^-x，因为函数值域为[1，4]即1=4⁰≤4^-x≤4=4¹，根据指数函数的增减性得到0≤-x≤1即-1≤x≤0．
故[a，b]的长度的最大值为1-（-1）=2，最小值为1-0=1或0-（-1）=1，
则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1，
故答案为：1．

点评 考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．