Question

7．已知圆F₁：（x+1）²+y²=1，圆F₂：（x-1）²+y²=25，若动圆C与圆F₁外切，且与圆F₂内切，求动圆圆心C的轨迹方程．

Answer 1

分析 根据两圆的方程，算出它们的圆心与半径，设动圆的半径为R，根据两圆相切的性质证出：|F₁C|+|F₂C|=r₁+r₂=1+5=6（定值），从而得到圆心C在以F₁、F₂为焦点的椭圆上运动，结合题意算出a、b之值，可得动圆圆心的轨迹方程．

解答 解：∵圆F₁的方程为：（x+1）²+y²=1，
∴圆F₁的圆心为（-1，0），半径r₁=1；同理圆R₂的圆心为（1，0），半径r₂=5．
设动圆的半径为R，则|F₁C|=r₁+R，|F₂C|=r₂-R，
两式相加得：|F₁C|+|F₂C|=r₁+r₂=1+5=6（定值），
∴圆心C在以F₁、F₂为焦点的椭圆上运动，
由2a=6，c=2，得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
即动圆圆心C的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题求动点的轨迹方程，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系、平行线之间的距离公式，属于中档题．