Question

19．设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求导f（x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值；
（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．

解答 解：（1）f'（x）=3（x²-2），
令f'（x）=0，得${x_1}=-\sqrt{2}，{x_2}=\sqrt{2}$，
∴当$x＜-\sqrt{2}$或$x＞\sqrt{2}$时，f'（x）＞0；
当$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$时，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是$（{-∞，-\sqrt{2}}）$和$（{\sqrt{2}，+∞}）$，
单调递减区间是$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$；
当x=-$\sqrt{2}$，f（x）有极大值5+4$\sqrt{2}$；当x=$\sqrt{2}$，f（x）有极小值5-4$\sqrt{2}$；
（2）设切点为（m，n），
则切线的斜率为3（m²-2），
切线的方程为y-（m³-6m+5）=3（m²-2）（x-m），
代入（1，0），可得-（m³-6m+5）=3（m²-2）（1-m），
化为（m-1）²（2m+1）=0，
解得m=1或m=-$\frac{1}{2}$，
则斜率为-3或-$\frac{21}{4}$，
可得切线的方程为y=-3x+3或y=-$\frac{21}{4}$x+$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．