Question

2．（1）求函数y=2x+4$\sqrt{2-x}$，x∈[0，2]的值域；
（2）化简：$\frac{\sqrt{1-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{1-co{s}^{2}40°}}$．

Answer 1

分析 （1）设$\sqrt{2-x}=t$，则$x=2-{t^2}，t∈[0，\sqrt{2}]$，原函数可化为y=-2t²+4t+4，$t∈[0，\sqrt{2}]$，再由二次函数的性质即可得原函数的值域；
（2）利用同角三角函数间的基本关系以及三角函数的诱导公式化简得答案．

解答 解：（1）设$\sqrt{2-x}=t$，则$x=2-{t^2}，t∈[0，\sqrt{2}]$
原函数可化为y=-2t²+4t+4，$t∈[0，\sqrt{2}]$
当t=0时，y取得最小值4；当t=1时，y取得最大值6．
∴原函数的值域为[4，6]；
（2）$\frac{\sqrt{1-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{1-co{s}^{2}40°}}$=$\frac{\sqrt{si{n}^{2}40°+co{s}^{2}40°-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{si{n}^{2}40°}}$
=$\frac{|cos40°-sin40°|}{cos40°-|sin40°|}$=$\frac{cos40°-sin40°}{cos40°-sin40°}$=1．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了二次函数的性质，是中档题．化简$\sqrt{1-2sin40°cos40°}$