Question

14．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=1，E，F分别是CC₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱锥E-AB₁F的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AF⊥B₁F，B₁F⊥EF，然后证明B₁F⊥平面AEF；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B₁F⊥平面AEF，然后利用等积法求得三棱锥E-AB₁F的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由条件知AF⊥平面CCBB₁，∴AF⊥B₁F，
由∠BAC=90°，且AB=AA₁=1，得${B}_{1}F=\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，${B}_{1}E=\frac{3}{2}$，
∴${B}_{1}{E}^{2}={B}_{1}{F}^{2}+E{F}^{2}$，即B₁F⊥EF，又∵EF∩AF=F，
∴B₁F⊥平面AEF；
（Ⅱ）解：由已知可得，AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且由（Ⅰ）知AF⊥FE，
∴${S}_{△AFE}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{8}$，
∴${V}_{E-A{B}_{1}F}={V}_{{B}_{1}-AEF}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{8}×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{1}{8}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．