Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=3sinθ\end{array}$（θ为参数，θ∈R），直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．

解答 解：将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t为参数，t∈R），
化为普通方程为x-y-6=0．
因为点P在曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=3sinθ\end{array}$（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．
点P到直线l的距离d=$\frac{|4cosθ-3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5cos（θ+ϕ）-6|}{\sqrt{2}}$，其中tanφ=$\frac{3}{4}$，φ是锐角．
所以当cos（θ+φ）=1时，d_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以点P到直线l的距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…10分．

点评 本题考查的知识点是直线与椭圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，三角函数的最值，难度中档．