Question

15．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）•cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin（2x+π）．
（Ⅰ） 求f的（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函数周期公式即可解得．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）•cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin（2x+π）
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x  …（3分）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（5分）
于是T=π，…（6分）
（Ⅱ）由条件可得g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），…（8分）
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，…（10分）
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，…（11分）
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
故函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2，最小值为-1．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．