Question

20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\overrightarrow{M}$=（a+b，a-c），$\overrightarrow{N}$=（sin（A+B），sinA-sinB），且$\overrightarrow{M}$与$\overrightarrow{N}$共线．（1）求角B；
（2）若b=3且sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理求得cosB的值，可得B的值．
（2）利用正弦定理求得a的值，根据sinA的值可得cosA的值，利用两角和的正弦公式求得sinC=sin（A+B）的值，可得△ABC的面积 S=$\frac{1}{2}$•ab•sinC 的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\overrightarrow{M}$=（a+b，a-c），$\overrightarrow{N}$=（sin（A+B），sinA-sinB），且$\overrightarrow{M}$与$\overrightarrow{N}$共线，
∴（a+b）•（sinA-sinB）-（a-c）•sin（A+B）=0，
利用正弦定理可得（a+b）•（a-b）=（a-c）•c，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）若b=3，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，即$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，∴a=2＜b，∴A＜B．
由sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$，
∴△ABC的面积 S=$\frac{1}{2}$•ab•sinC=$\frac{1}{2}$•2•3•$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．