Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=3，且a_n+1+1=a_n²-na_n-n（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；
（2）求证：当n≥2时，a_nⁿ≥4nⁿ．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n²-na_n-n（n∈N^*），且a₁=3，分别令 n=1，2，3，4即可求解，进而可猜想；
（2）由（1）可得a_n=n+2，从而有ann=（n+2）ⁿ，利用二项式定理展开后即可证明．

解答 解：（1）n=1时，a₂=4；n=2时，a₃=5；n=3时，a₄=6；n=4时，a₅=7；
猜想：a_n=n+2…（3）
（2）法一：要证$a_n^n≥4{n^n}（n≥2）$成立
只要证（n+2）ⁿ≥4nⁿ（n≥2）
只要证（x+2）^x≥4x^x（x≥2）
只要证xln（x+2）≥ln4+xlnx（x≥2）
即证xln（x+2）-ln4-xlnx≥0（x≥2），
f（x）=xln（x+2）-ln4-xlnx（x≥2）…（6）
$f'（x）=ln（x+2）+\frac{x}{x+2}-lnx-1=ln\frac{x+2}{x}+\frac{x}{x+2}-1$
令$t=\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}（1＜t≤2）$，则$y=lnt+\frac{1}{t}-1，y'=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}＞0$，
所以$y=lnt+\frac{1}{t}-1$在（1，2]上单调递增，所以y＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）单调递增，所以f（x）≥f（2）=0得证．…（10）
法二：令$y={（\frac{a_n}{n}）^n}（n≥2），y={（\frac{n+2}{n}）^n}={（1+\frac{2}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{2}{n}+C_n^2{（\frac{2}{n}）^2}+…=1+2+\frac{n（n-1）}{2}•\frac{4}{n^2}+…$
=$5-\frac{2}{n}+…$，
∵n≥2，∴y≥4，即${（\frac{a_n}{n}）^n}≥4$，即$a_n^n≥4{n^n}（n≥2）$得证．…（10）

点评 本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项综的应用及归纳法的应用，解答（2）的关键是二项展开式的应用．