Question

15．函数$f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}）$的最小正周期是π，且当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值5．
（1）求f（x）的解析式及单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出A，求出函数是周期，当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值5，求解解析式，然后通过正弦函数的单调性求解即可．
（2）利用三角变换，结合函数的奇偶性，求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由题得，A=5，∵$\frac{2π}{ω}=π∴ω=2$，
∴5sin（2×$\frac{π}{6}$+α）=5，∴α=$\frac{π}{6}$+2kπ，$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$，
∴α=$\frac{π}{6}$．
$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）$…（4分）
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$得$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$
∴$单调减区间为[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]，k∈Z$…（8分）
（2）函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，
g（x）=5sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$）是偶函数，
∴$-2m+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，即$m=-\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，k∈Z$，
∵m＞0，
∴m的最小值为$\frac{π}{3}$…（12分）

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调性以及平移变换，三角函数的最值的求法，考查计算能力．