Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有3a_n=2S_n+3成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出数列{a_n}为等比数列，再由等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₃a_n，求得b_n，再由裂项相消法求数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

解答 解：（1）在3a_n=2S_n+3中，取n=1得a₁=3，
且3a_n+1=2S_n+1+3，
两式相减得3a_n+1-3a_n=2a_n+1，
∴a_n+1=3a_n，
又a₁≠0，
∴数列{a_n}是以3为公比的等比数列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ；
（2）b_n=log₃a_n=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题．