Question

【题目】已知函数.

(1)求f(x)的最小值；

(2)若关于x的不等式在(1,+∞)上恒成立,求整数k的最大值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）3.

【解析】

（1）判断当x>1时，当0<x<1时，导函数的符号，判断函数的最小值位置，然后求解即可;（2）不等式恒成立转化为，即恒成立，即h（x）的最小值大于k，求出函数的导数，通过记，判断函数的最值，当x>a时，判断h'（x）符号，求解函数的最小值，可得正整数k的最大值.

（1）由，

当x>1时,f'(x)>0;当0<x<1时,f'(x)<0.

故当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.

（2）由,即,

即在(1,+∞)上恒成立,

则在(1,+∞)上的最小值大于k.

,记,

则当x（1，+∞）时g′(x)=，

所以，g（x）在（1，+∞）上单调递增，
又，

存在唯一存a，

且满足，,

当时，，

当时，，

，

，

故正整数k的最大值是3.