Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是边长为的等边三角形，

（1）证明：.

（2）求二面角的余弦值..

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先根据余弦定理计算得，再根据勾股定理得,即得为等腰直角三角形，取的中点，可得结合条件根据线面垂直判定定理得，即得根据勾股定理得，根据线面垂直判定定理得，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.

（1）在中，，，，由余弦定理可得，

故，所以，且为等腰直角三角形.

取的中点，连接，由，得，连接，

因为，所以，所以.

又，，，所以，即.

又，所以，又.

所以.

（2）解：以为原点，，，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.

设平面的法向量，，，

，令，则，所以，

设平面的法向量，，，

，令，则，所以，

故.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为