【题目】椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)利用已知条件求出b,即可求解椭圆方程.
(2)直线l:y=-x+1,设AB坐标,联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可.
(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A,B,求出斜率,即可;当直线AB的斜率存在时,设其为k,求直线AB:y=k(x-1),联立直线与椭圆的方程组,利用韦达定理以及斜率
公式化简求解即可.
解:(1)∵a=2,又c=1,∴,∴椭圆方程为
(2)直线l:y=-x+1,设A(x1,y1)B(x2,y2),
由消y得7x2-8x-8=0,有
,
.
(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A(1,),B(1,-
),
则,
,故k1+k2=2.
当直线AB的斜率存在时,设其为k,则直线AB:y=k(x-1),设A(x1,y1)B(x2,y2),
由消y得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0,
有,
.
=
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【题目】和平面解析几何的观点相同,在空间中,空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹,在空间直角坐标系中,空间平面和曲面的方程是一个三原方程
.
(1)类比平面解析几何中直线的方程,写出①过点,法向量为
的平面的点法式方程;②平面的一般方程;③在
,
,
轴上的截距分别为
,
,
的平面的截距式方程.(不需要说明理由)
(2)设、
为空间中的两个定点,
,我们将曲面
定义为满足
的动点
的轨迹,试建立一个适当的空间直角坐标系
,求曲面
的方程.
(3)对(2)中的曲面,指出和证明曲面
的对称性,并画出曲面
的直观图.
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【题目】
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直方图:
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差
(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用(i)的结果,求
.
附:
若则
,
.
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【题目】某工厂生产、
两种零件,其质量测试按指标划分,指标大于或等于
的为正品,小于
的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | |||||
| 8 | 12 | 40 | 30 | 10 |
| 9 | 16 | 40 | 28 | 7 |
(Ⅰ)试分别估计、
两种零件为正品的概率;
(Ⅱ)生产1个零件,若是正品则盈利50元,若是次品则亏损10元;生产1个零件
,若是正品则盈利60元,若是次品则亏损15元,在(Ⅰ)的条件下:
(i)设为生产1个零件
和一个零件
所得的总利润,求
的分布列和数学期望;
(ii)求生产5个零件所得利润不少于160元的概率.
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【题目】已知y=f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(-3,-1)上先增后减B.x=-2是f(x)极小值点
C.f(x)在(-1,1)上是增函数D.x=1是函数f(x)的极大值点
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线与
相交于
两点,且满足:①
与
(
为坐标原点)的斜率之和为2;②直线
与圆
相切,若存在,求出
的方程;若不存在,请说明理由.
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