【题目】已知函数.
(1)当时,设函数
,求函数
的单调区间和极值;
(2)设是
的导函数,若
对任意的
恒成立,求
的取值范围;
(3)若,
,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)当a=1,求得函数g(x)的解析式,求导,g′(x)<0和g′(x)>0,求得函数g(x)的单调递减区间和单调递增区间,g′(x)=0,x,由函数的单调性可知x
为函数g(x)的极小值;
(2)求得f′(x),将原不等式转化成,2lna≤x﹣2lnx﹣1在x>0上恒成立,构造辅助函数,h(x)=x﹣2lnx﹣1,求导,根据函数单调性求得h(x)有最小值,即可求得实数a的取值范围;
(3)由(1)可知,根据函数的单调性可知<
<1,可知g(
)>g(
)=
ln
,则ln
+ln
<(2
)ln(
),由基本不等式的关系可知2
4,ln(
)<0,即ln
+ln
<4ln(
),根据对数函数的性质即可得到
.
(1)当a=1时,g(x)==xln x,∴g'(x)=1+ln x.令g'(x)=0得x=
.
当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴当x=时,g(x)取得极小值-
.
(2)f'(x)=2x(ln x+ln a)+x,
≤1,即2ln x+2ln a+1≤x,
所以2ln a≤x-2ln x-1在x>0上恒成立,
设u(x)=x-2ln x-1,则u'(x)=1-.
令u'(x)=0,得x=2.
当0<x<2时,u'(x)<0,u(x)单调递减;当x>2时,u'(x)>0,u(x)单调递增,
∴当x=2时,u(x)有最小值u(2)=1-2ln 2.
∴2ln a≤1-2ln 2,解得0<a≤.∴a的取值范围是
.
(3)由(1)知g(x)=xln x在内是减函数,在
上是增函数.
∵<
<
<1,∴g(
)=(
)ln(
)>g(
)=
ln
,
即ln x1<ln(
).
同理ln <
ln(
).
∴ln +ln
<
ln(x1+x2)=
ln(
).
又∵2+≥4,当且仅当“
=
”时,取等号.
又,
∈
,
<1,ln(
)<0,
∴ln(
)≤4ln(
),
∴ln+ln
<4ln(
).∴
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直方图:
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差
(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用(i)的结果,求
.
附:
若则
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥中,已知
,
,平面
平面
,点
分别是
的中点,
,连接
.
(1)若,并异面直线
与
所成角的余弦值的大小;
(2)若二面角的余弦值的大小为
,求
的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法中错误的是( )
A. 先把高二年级的名学生编号为
到
,再从编号为
到
的
名学生中随机抽取
名学生,其编号为
,然后抽取编号为
,
,
的学生,这样的抽样方法是系统抽样法.
B. 正态分布在区间
和
上取值的概率相等
C. 若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于
D. 若一组数据的平均数是
,则这组数据的众数和中位数都是
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