Question

1．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；
（2）若a=1，b=＞2e，求方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内实根的个数．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{b}{x}$，g′（x）=2ax-1，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{g（1）=a-1=0}\\{b=2a-1}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）f（x）-g（x）=x转化为blnx-x²=0，故令G（x）=blnx-x²，G′（x）=$\frac{b}{x}$-2x，从而可得G（x）在（1，$\sqrt{\frac{b}{2}}$）上单调递增，在（$\sqrt{\frac{b}{2}}$，e^b）上单调递减；从而可得G（$\sqrt{\frac{b}{2}}$）＞0；再由G（1）=-1＜0，G（e^b）=blne^b-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，
∴f′（x）=$\frac{b}{x}$，g′（x）=2ax-1，
又∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）有相同的切线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{g（1）=a-1=0}\\{b=2a-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
（2）f（x）-g（x）=x转化为blnx-x²=0，
令G（x）=blnx-x²，G′（x）=$\frac{b}{x}$-2x，
由G′（x）=$\frac{b}{x}$-2x=0得，x=±$\sqrt{\frac{b}{2}}$；
∵x∈（1，e^b），b＞2e，
∴$\sqrt{\frac{b}{2}}$＞$\sqrt{e}$＞1，e^b＞$\sqrt{\frac{b}{2}}$；
∴由G′（x）=$\frac{b}{x}$-2x＞0得，1＜x＜$\sqrt{\frac{b}{2}}$；
由G′（x）=$\frac{b}{x}$-2x＜0得，$\sqrt{\frac{b}{2}}$＜x＜e^b；
∴G（x）在（1，$\sqrt{\frac{b}{2}}$）上单调递增，在（$\sqrt{\frac{b}{2}}$，e^b）上单调递减；
∴当x=$\sqrt{\frac{b}{2}}$时，G_max（x）=bln$\sqrt{\frac{b}{2}}$-$\frac{b}{2}$=$\frac{b}{2}$（ln$\frac{b}{2}$-1）；
∵b＞2a，∴$\frac{b}{2}$＞e，
∴ln$\frac{b}{2}$＞lne=1，
∴G（$\sqrt{\frac{b}{2}}$）＞0；
∵G（1）=-1＜0；
G（e^b）=blne^b-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0；
∴方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内有两个实根．

点评 本题考查了导数的综合应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于难题．