Question

11．甲，乙两人进行射击比赛，每人射击6次，他们命中的环数如下表：

甲	5	8	7	9	10	6
乙	6	7	4	10	9	9

（Ⅰ）根据上表中的数据，判断甲，乙两人谁发挥较稳定；
（Ⅱ）把甲6次射击命中的环数看成一个总体，用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
注：$\overline{x}$=$\frac{1}{n}$（x₁+x₂+…+x_n）
S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算甲、乙二人成绩的平均数与方差，比较即可得出结论；
（Ⅱ）利用列举法得出从总体中抽取两个个体的全部可能结果以及所求事件的基本事件数，
求出对应的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）甲射击命中的环数的平均数为
$\overline{x_1}=\frac{1}{6}×（5+8+7+9+10+6）=7.5$，（1分）
其方差为
$s_1^2=\frac{1}{6}×（{2.5^2}+{0.5^2}+{0.5^2}+{1.5^2}+{2.5^2}+{1.5^2}）=\frac{1}{6}×17.5≈2.92$；…（2分）
乙射击命中的环数的平均数为
$\overline{x_2}=\frac{1}{6}×（6+7+4+10+9+9）=7.5$，（3分）
其方差为
${{s}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{6}$×（1.5²+0.5²+3.5²+2.5²+1.5²+1.5²）=$\frac{1}{6}$×25.5=4.25；…（4分）
因此，$s_1^2＜s_2^2$，
所以甲、乙两人射击命中的环数的平均数相同，但甲比乙发挥较稳定；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”；
从总体中抽取两个个体的全部可能的结果是（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），
（8，9），（8，10），（9，10），共15个结果； …（9分）
其中事件A包含的结果有（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），
（7，8），（7，9），共有7个结果；   …（10分）
则$P（A）=\frac{7}{15}$．     …（11分）
答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率是$\frac{7}{15}$．…（12分）

点评 本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了用列举法求基本事件的概率问题，是基础题目．