Question

16．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（$\sqrt{3}$，2）为双曲线C右支上一点，且F2在以线段MF₁为直径的圆的圆周上，则双曲线C的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由点M（$\sqrt{3}$，2）为双曲线C右支上一点，且F₂在以线段MF₁为直径的圆的圆周上，可得MF₂⊥F₁F₂，进而，求出a，c，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：∵点M（$\sqrt{3}$，2）为双曲线C右支上一点，且F₂在以线段MF₁为直径的圆的圆周上，
∴MF₂⊥F₁F₂，
∴2=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1$，
∴a=1，
∴c=$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，确定MF₂⊥F₁F₂，是解答的关键．