Question

1．已知f（x，y）=（x-y）²+（4+$\sqrt{1-{x^2}}$+$\sqrt{1-\frac{y^2}{9}}$）²，则f（x，y）的最大值为$28+6\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 f（x，y）表示两点A（x，4+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）和B（y，-$\sqrt{1-\frac{{y}^{2}}{9}}$）的距离的平方．则A在上半圆x²+（y-4）²=1运动，B在下半椭圆$\frac{{m}^{2}}{9}$+n²=1上运动，由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值，运用两点的距离公式和二次函数的最值，结合椭圆的性质，即可得到最大值．

解答 解：f（x，y）=（x-y）²+（4+$\sqrt{1-{x^2}}$+$\sqrt{1-\frac{y^2}{9}}$）²，
表示两点A（x，4+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）和B（y，-$\sqrt{1-\frac{{y}^{2}}{9}}$）的距离的平方．
由A在上半圆x²+（y-4）²=1运动，B在下半椭圆$\frac{{m}^{2}}{9}$+n²=1上运动，
由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值．
设半椭圆上P（m，n）（-1≤n≤0），
即有|CP|=$\sqrt{{m}^{2}+（n-4）^{2}}$=$\sqrt{9-9{n}^{2}+（n-4）^{2}}$
=$\sqrt{-8（n+\frac{1}{2}）^{2}+27}$，当n=-$\frac{1}{2}$时，|CP|取得最大值3$\sqrt{3}$，
则有f（x，y）的最大值为（3$\sqrt{3}$+1）²=28+6$\sqrt{3}$．
故答案为：$28+6\sqrt{3}$．

点评 本题考查两点的距离公式的运用，圆和椭圆的方程和性质的运用，考查运算能力，运用对称性和二次函数的最值是解题的关键．