Question

9．若圆C：x²+y²-2x-4y+m=0与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
（1）求m的值；
（2）是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，若存在，求出c的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离可得：圆心（1，2）到直线l的距离d，利用$（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}$=5-m，即可解得m．
（2）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$，假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，必须满足1-$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解出即可．

解答 解：（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m．
圆心（1，2）到直线l的距离d=$\frac{|1+4-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵弦长|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴$（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}$=5-m，解得m=4．
故m=4．
（2）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=$\frac{|1-4+c|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$，
假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
必须1-$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得4-$\sqrt{5}$＜c＜2+$\sqrt{5}$．
因此存在c∈（4-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$），满足条件．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长公式、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．