Question

12．（1）已知a-$\frac{1}{a}$=1，求 $\frac{{（{{a^3}+{a^{-3}}}）（{{a^2}+{a^{-2}}-3}）}}{{{a^4}-{a^{-4}}}}$的值；
（2）写出对数的换底公式并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由a-$\frac{1}{a}$=1，可得a-a^-1=1．a²+a^-2=（a-a^-1）²+2，a+a^-1=±$\sqrt{（a-{a}^{-1}）^{2}+4}$，再利用乘法公式化简代入即可得出．
（2）对数的换底公式：log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$（a，b，c＞0，且a，c≠1）．下面给出证明：设log_ab=x，化为指数式：a^x=b＞0，两边取以c为底的对数可得：xlog_ca=log_cb，化简整理即可得出．

解答 （1）解：∵a-$\frac{1}{a}$=1，∴a-a^-1=1．
a²+a^-2=（a-a^-1）²+2=3，
a+a^-1=±$\sqrt{（a-{a}^{-1}）^{2}+4}$=±$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{（{{a^3}+{a^{-3}}}）（{{a^2}+{a^{-2}}-3}）}}{{{a^4}-{a^{-4}}}}$=$\frac{（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-1）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{（a+{a}^{-1}）（a-{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}）}$=$\frac{（3-1）（3-3）}{1×3}$=0．
（2）对数的换底公式：log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$（a，b，c＞0，且a，c≠1）．
证明：设log_ab=x，
化为指数式：a^x=b＞0，
两边取以c为底的对数可得：xlog_ca=log_cb，
∵log_ca≠0，
化为x=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$，即log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$（a，b，c＞0，且a，c≠1）．

点评 本题考查了指数幂与对数的运算性质、对数的换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．