Question

7．在圆x²+y²=r²中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有k_AC•k_BC=-1．用类比的方法，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），也能得出类似的结论：若设A为椭圆上的任意一点，点A关于椭圆中心的对称点为B，点C为椭圆上异于A、B的任意一点，则k_AC•k_BC=$-\frac{b^2}{a^2}$．

Answer 1

分析 由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质．

解答 解：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即k_AC•k_BC=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
证明如下：设点A的坐标为（m，n），则点B的坐标为（-m，-n），进而可知$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
又设点C的坐标为（x，y），
 则k_AC=$\frac{y-n}{x-m}$，k_BC=$\frac{y+n}{x+m}$
∴k_AC•k_BC=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，
将y²=b^2_（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$）代入得k_AC•k_BC=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案为：-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．

点评 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．