Question

【题目】一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n﹣1）的 倍． （Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得f（n）= f（n﹣1），（n≥2，n∈N*） 当n=2时， ，
同理可得
（Ⅱ）猜想
下面用数学归纳法证明（*）成立
② 当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立
②假设n=k（k≥4，k∈N*）时，（*）成立，即 ，
那么当n=k+1时，
即 ∴当n=k+1时，（*）也成立
综合①②所述，对n∈N* ， 成立
【解析】（Ⅰ）由f（n）= f（n﹣1），（n≥2，n∈N*）， 可求得f（2），f（3），f（4）的值，（Ⅱ）从而可猜想f（n）关系式．按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题对任意的n≥2恒成立．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式和数学归纳法的定义的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题．