Question

【题目】已知椭圆： 经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．　

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是椭圆上不在轴上的一个动点， 为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点．

（1）试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．

（2）记的面积为， 的面积为，令，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）（1）；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）直线与圆相交，根据弦长公式，求得，再根据椭圆过定点，建立方程，求得 ；（Ⅱ）（1）设直线的方程为，直线的方程为 ，根据弦长公式分别求 ，将 表示为的式子，求定值；（2）将面积表示为的函数，再通过换元，求函数的最值.

试题解析：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线的距离为1，即，所以，

又椭圆经过点，所以，得到，

所以椭圆的标准方程为．　

（Ⅱ）（1）设， ， ， 的方程为，

则的方程为.

由得即

所以 ，

由，得，

所以， ，

，

所以．

（2）∵，∴的面积的面积，∴，

∵到直线： 的距离，

∴，令，则（），

，

令， ，

∴在上为增函数， ， ．