Question

18．已知f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx（a＞0），x∈[1，e]．
（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；
（2）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过当0＜a≤1，当1＜a＜e²，求出函数的单调区间，与极值，然后求解a的值．
（2）由（1）知，当0＜a≤1或a≥e²时，当1＜a＜e²时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，列出不等式求解a的范围．

解答 解：（1）$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}=\frac{{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}}{x}$，
当$\sqrt{a}≤1$时，即0＜a≤1，f（x）在[1，e]单调递增∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}≠0$，
当$1＜\sqrt{a}＜e$时，而1＜a＜e²，f（x）在$[1，\sqrt{a}]$单调递减，在$（\sqrt{a}，e]$单调递增∴$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a-aln\sqrt{a}=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}alna=0$，∴a=e，
当$\sqrt{a}≥e$时，即a≥e²，f（x）在[1，e]单调递减，
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-a=0$∴$a=\frac{1}{2}{e^2}$（舍）
综上a=e
（2）由（1）知，当0＜a≤1或a≥e²时，f（x）在[1，e]上单绸，不可能存在两个零点，
当1＜a＜e²时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}a（1-lna）＜0\\ f（1）=\frac{1}{2}＞0\\ f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-a＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞e\\ a＜\frac{1}{2}{e^2}\end{array}\right.⇒e＜a＜\frac{1}{2}{e^2}$，
所以a的取值范围为$（e，\frac{1}{2}{e^2}）$．

点评 本题考查函数的导数判断函数的单调性以及函数的极值，考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．