Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求tanx的值；
（2）若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，求sinx+cosx的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直的性质得到坐标的关系等式，求出tanx；
（2）利用数量积公式得到x的三角函数等式，结合平方关系求出sinx+cosx．

解答 解：（1）因$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，所以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinx-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cosx=0    …（2分）
所以tanx=1     …（5分）
（2）因为$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosx=\frac{1}{2}$，所以$sinx-cosx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$①…（7分）
设sinx+cosx=a②
由①²+②²得a²=$\frac{3}{2}$      …（10分）
因x是锐角，所以a为正值，所以a=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直的性质和三角函数的化简求值；属于基础题．