Question

4．在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）直接写出y_甲，y_乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；
（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．

Answer 1

分析 （1）由图形，结合一次函数的解析式的求法，可得所求解析式；再令y_甲=y_乙，求得M的坐标，进而得到几何意义；
（2）令y_甲-y_乙≤5，解不等式可得x的范围，进而得到所求结论；
（3）运用分段函数的形式写出f（x），再由二次函数的最值的求法，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）y_甲=20x，0≤x≤2；y_乙=$\left\{\begin{array}{l}{40-40x，0≤x≤1}\\{40x-40，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
令y_甲=y_乙，可得20x=40-40x，解得x=$\frac{2}{3}$，
进而y_甲=y_乙=$\frac{40}{3}$，即有M（$\frac{2}{3}$，$\frac{40}{3}$），
M的坐标表示：甲乙经过$\frac{2}{3}$h第一次相遇，此时离A距离$\frac{40}{3}$km；
（2）乙返回过程中，当1＜x≤2时，乙与甲相距5km之内，
即y_甲-y_乙≤5，即为20x-（40x-40）≤5，解得x≥$\frac{7}{4}$，即$\frac{7}{4}$≤x≤2，
则（2-$\frac{7}{4}$）×60=15分钟，甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{20x（40-40x），0≤x≤1}\\{20x（40x-40），1＜x≤2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-800（{x}^{2}-x），0≤x≤1}\\{800（{x}^{2}-x），1＜x≤2}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{-800（x-\frac{1}{2}）^{2}+200，0≤x≤1}\\{800（x-\frac{1}{2}）^{2}-200，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
当0＜x≤1时，f（x）的最大值为f（$\frac{1}{2}$）=200；
当1＜x≤2时，f（x）递增，f（2）为最大值，且为1600．
综上可得f（x）的最大值为f（2）=1600．

点评 本题考查一次函数和二次函数的应用题，考查函数的解析式的求法和图形的理解，考查二次函数的最值的求法，属于中档题．