Question

13．讨论关于x的方程e^x=kx解的个数（k∈R）．

Answer 1

分析 利用函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，求出函数的过原点的切线方程，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出函数y=e^x的图象如图：
设过原点的直线y=kx与y=e^x相切，切点为（a，e^a），
则函数的导数为f′（x）=e^x，则切线斜率为e^a，
则切线方程为y-e^a=e^a（x-a），
即y=e^ax+（1-a）e^a，
∵y=kx，
∴k=e^a且（1-a）e^a=0，得a=1，k=e，
即当k=e时，方程e^x=kx有一个解，
当k＞e时，方程e^x=kx有2个解，
当0≤k＜e时，方程e^x=kx没有解，
当k＜0时，方程e^x=kx有一个解．

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点个数问题是解决本题的关键．