Question

8．设函数y=4^x-3•2^x+3的值域为[1，7]，若定义域为（-∞，0]∪[a，2]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 运用换元法，令t=2^x，t＞0，则y=t²-3t+3，作出y=t²-3t+3在t＞0的图象，求出y=1和y=7的交点，由题意可得[2，4]?[2^a，4]?[3，4]，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．

解答 解：令t=2^x，t＞0，则y=t²-3t+3，
作出y=t²-3t+3在t＞0的图象，
由x∈（-∞，0]，可得t∈（0，1]，
又x∈[a，2]，可得t∈[2^a，4]，
由值域可得y的最小值我，最大值为7，
当t=3时，y=3，即有[2，4]?[2^a，4]?[3，4]，
即有2≤2^a≤3，解得1≤a≤log₂3，
即有a的范围是[1，log₂3]．

点评 本题考查可化为二次函数的值域问题，注意运用换元法，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．