Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）求出AD=CD，即可得出结论；
（3）利用PB⊥PC，P在抛物线上，即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n经过A（-1，0），C（0，2），
∴-$\frac{1}{2}$-m+n=0，n=2
解得：m=$\frac{3}{2}$，n=2，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）对称轴为x=$\frac{3}{2}$，∴D（$\frac{3}{2}$，0），
∴AD=$\frac{5}{2}$，AC=$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{\frac{9}{4}+4}$=$\frac{5}{2}$，
∴AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形；
（3）设P（x，y），则
∵C（0，2），B（4，0），PB⊥PC
∴$\frac{y-2}{x}•\frac{y}{x-4}$=-1，
∴x（x-4）+y（y-2）=0
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴x（x-4）+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）=0，
∴x=2，
∴y=3，∴存在一点P（2，3），使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用、等腰三角形的性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．