Question

6．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB、AD的中点．
（1）求证：EF平行平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁
（3）求直线A₁C与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥BD，BD∥B₁D₁，从而EF∥B₁D₁，由此能证明EF∥平面CB₁D₁．
（2）推导出B₁D₁⊥A₁C₁，AA₁⊥B₁D₁，由此能证明平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
（3）由AA₁⊥底面ABCD，得∠A₁CA是直线A₁C与平面ABCD所成角，由此能求出直线A₁C与平面ABCD所成角的正切值．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵E、F分别为棱AB、AD的中点，∴EF∥BD，
∵BD∥B₁D₁，∴EF∥B₁D₁，
∵EF?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴EF∥平面CB₁D₁．
（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，AA₁⊥B₁D₁，
∵AA₁∩A₁C₁=A₁，B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，
∴B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
解：（3）∵AA₁⊥底面ABCD，
∴∠A₁CA是直线A₁C与平面ABCD所成角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为a，
则AA₁=a，AC=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
tan∠A₁CA=$\frac{A{A}_{1}}{AC}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线A₁C与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空是思维能力的培养产．