Question

14．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若平面SAB∩平面SDC=SH，求证：AB∥SH；
（Ⅱ）求直线SC与平面SAB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥DC，得AB∥面SDC，由此能证明AB∥SH．
（Ⅱ）推导出SA⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面SAB，∠CSB是SC与面SAB所成的角，由此能求出直线SC与面SAB所成的角的大小．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为AB∥DC，AB?面SDC，DC?面SDC，
所以AB∥面SDC．（3分）
又因为面SAB∩面SDC=SH，AB?面SAB，
所以AB∥SH．（6分）
解：（Ⅱ）因为SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
所以SA⊥BC；                       （7分）
又因为AB⊥BC，且SA∩AB=A，
所以BC⊥平面SAB．（8分）
所以SC在面SAB上的射影为SB，所以∠CSB是SC与面SAB所成的角．（9分）
因为$SB=\sqrt{S{A^2}+A{B^2}}=2\sqrt{2}$，BC=2，$SC=\sqrt{S{B^2}+B{C^2}}=2\sqrt{3}$，（11分）
所以$sin∠CSB=\frac{BC}{SC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
所以直线SC与面SAB所成的角为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线线平行的证明，考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．