Question

4．已知数列{a_n}的通项a_n=n²-11n+10，则a_n的最小值是-20，S_n的最小值是-120．

Answer 1

分析 a_n=n²-11n+10=$（n-\frac{11}{2}）^{2}$-$\frac{81}{4}$，利用二次函数的单调性可得当n=5或6时，a_n取得最小值．由a_n=n²-11n+10≥0，解得n≥10或n=1．当n=9或10时，S_n取得最小值，可得S_n=（1²+2²+…+n²）-11（1+2+…+n）+10n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{11n（n+1）}{2}$+10n．即可得出．

解答 解：a_n=n²-11n+10=$（n-\frac{11}{2}）^{2}$-$\frac{81}{4}$，
∴当n=5或6时，a_n取得最小值-20．
由a_n=n²-11n+10≥0，解得n≥10或n=1．
∴当n=9或10时，S_n取得最小值，
S_n=（1²+2²+…+n²）-11（1+2+…+n）+10n
=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{11n（n+1）}{2}$+10n．
S₉=S₁₀=$\frac{9×10×19}{6}$-$\frac{11×9×10}{2}$+10×9
=-120．
故答案分别为：-20；-120．

点评 本题考查了二次函数的单调性、等差数列的前n项和公式、（1²+2²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．