Question

5．若函数f（x）=2x²-3x+2m的图象与x轴在（-1，1）内仅有一个公共点，则m的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪{$\frac{9}{16}$}．

Answer 1

分析 对判别式△进行讨论，结合二次函数的图象性质列出不等式组解出．

解答 解：令f（x）=2x²-3x+2m=0，得m=-x²+$\frac{3x}{2}$，令g（x）=-x²+$\frac{3x}{2}$，则g（x）在（-1，$\frac{3}{4}$]上单调递增，在（$\frac{3}{4}$，1）上单调递减，
g（-1）=-$\frac{5}{2}$，g（1）=$\frac{1}{2}$，g（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}$．
作出g（x）的函数图象如图：

∵f（x）=2x²-3x+2m的图象与x轴在（-1，1）内仅有一个公共点，
∴m=g（x）在（-1，1）上只有一解，
由g（x）的函数图象可知-$\frac{5}{2}$$＜m＜\frac{1}{2}$或m=$\frac{9}{16}$．
∴m的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪{$\frac{9}{16}$}．

点评 本题考查了二次函数的性质，零点的个数与系数的关系，属于中档题．