Question

3．已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为-4，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的定义域，化简方程，然后求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）利用复合函数通过x的范围，结合二次函数的性质，通过函数f（x）的最小值为-4，求a的值．

解答 解：（Ⅰ）要使函数有意义：则有$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ x+3＞0\end{array}\right.$，解之得：-3＜x＜1…（2分）
函数可化为$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）$
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1
即x²+2x-2=0，$x=-1±\sqrt{3}$∵$-1±\sqrt{3}∈（-3，1）$，∴f（x）的零点是$-1±\sqrt{3}$…（5分）
（Ⅱ）函数化为：$f（x）={log_a}（1-x）（x+3）={log_a}（-{x^2}-2x+3）={log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]$，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4…（7分）
∵0＜a＜1，
∴${log_a}[{-{{（x+1）}^2}+4}]≥{log_a}4$
即f（x）_min=log_a4
由log_a4=-4，得a^-4=4，
∴$a={4^{-\frac{1}{4}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）

点评 本题考查函数的最值的求法，二次函数的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．