Question

13．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）通过a_n²+2a_n=4S_n+3与a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3作差可知a_n+1-a_n=2，进而可知数列{a_n}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知a_n=2n+1，裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），并项相加即得结论．

解答 解：（I）∵a_n²+2a_n=4S_n+3，
∴a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3，
两式相减得：a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n=4a_n+1，
整理得：a_n+1²-a_n²=2（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁²+2a₁=4a₁+3，
∴a₁=3或a₁=-1（舍），
∴数列{a_n}是以3为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴数列{b_n}的前n项和为：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{2n+3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．