Question

4．若方程（$\frac{1}{4}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x-1+a=0有正数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-3，0）
• C． （-2，0）
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 为便于处理，不妨设t=（$\frac{1}{2}$）^x，于是可转化为求关于t的方程t²+2t+a=0的根的问题，明显地，原方程有正实数解，即可转化为关于t的方程在（0，1）上有解的问题．于是问题迎刃而解．

解答 解：设t=（$\frac{1}{2}$）^x，则有：a=-[（$\frac{1}{2}$）^2x+2（$\frac{1}{2}$）^x]=-t²-2t=-（t+1）²+1．
原方程有正数解x＞0，则0＜t=（$\frac{1}{2}$）^x＜（$\frac{1}{2}$）⁰=1，
即关于t的方程t²+2t+a=0在（0，1）上有实根．
又因为a=-（t+1）²+1．
所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2，
即1＜（t+1）²＜4，
即-4＜-（t+1）²＜-1，
即-3＜-（t+1）²+1＜0，
即得：-3＜a＜0，
故选：B．

点评 本题考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查．