Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F₁，F₂分别为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，且·的最大值为1，最小值为－2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于M，N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．

Answer 1

【考点分析】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题

解:(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，P(x₀，y₀)为椭圆上任意一点，

所以＝(x₀＋c，y₀)，＝(x₀－c，y₀)，

所以·＝x＋y－c²，

又因为＋＝1，  所以·＝x＋b²－x－c²＝x＋b²－c².

因为0≤x≤a²，所以b²－c²≤·≤b²，

因此所以   因此a²＝4.

所以椭圆方程为＋y²＝1.

(2)①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y＝kx＋m，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

由得x²＋4(k²x²＋2kmx＋m²)＝4，

化简得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0，

所以x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝

－＋m²＝.

因为AM⊥AN，    所以A·A＝y₁y₂＋(x₁－2)(x₂－2)＝0，

所以y₁y₂＋x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＝0，

所以＋＋＋4＝0，

去分母得m²－4k²＋4m²－4＋16km＋4＋16k²＝0，整理得

即12k²＋16km＋5m²＝0，整理得(2k＋m)(6k＋5m)＝0，所以k＝－，或k＝－m，

当k＝－时，l：y＝－x＋m＝m过定点(2,0)，显然不满足题意；

当k＝－m时，l：y＝－x＋m＝m过定点.

②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点(x_0,0)，由椭圆的对称性可知△MNA为等腰直角三角形，

所以 ＝2－x₀，化简得5x－16x₀＋12＝0，

解得x₀＝或2(舍)，  即此时直线l也过定点.