Question

17．在直角坐标系中xOy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂：ρ=$\frac{a}{{cos（θ-\frac{π}{4}）}}$，若射线θ=ϕ，θ=ϕ+$\frac{π}{4}$，θ=Φ-$\frac{π}{4}$，θ=Φ+$\frac{π}{2}$与曲线C₁分别交于（异于极点O）的四点A，B，C，D
（1）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求a的值，并求曲线C₁的极坐标方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

Answer 1

分析 （1）把曲线C₁化为普通方程，再把C₂化为直角坐标方程，由于曲线C₁关于曲线C₂对称，可得曲线C₂经过曲线C₁的圆心，即可求出a的值，进一步把曲线C₁的直角坐标方程化为极坐标方程；
（2）把θ=ϕ，θ=ϕ+$\frac{π}{4}$，θ=Φ-$\frac{π}{4}$，θ=Φ+$\frac{π}{2}$代入$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，化简计算即可求出|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

解答 解：（1）曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$为参数）化为普通方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
∵${C_2}：ρ=\frac{a}{{cos（θ-\frac{π}{4}）}}$
∴$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$，即$ρcosθ+ρsinθ=\sqrt{2}a$，
把C₂化为直角坐标方程为$x+y=\sqrt{2}a$，
∵曲线C₁关于曲线C₂对称，∴曲线C₂经过曲线C₁的圆心．
∴$a=\sqrt{2}$．
又∵x²+y²-2x-2y=0
∴ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=0，
即$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
（2）$|OA|=2\sqrt{2}sin（$ϕ$+\frac{π}{4}）$，$|OB|=2\sqrt{2}sin$（ϕ+$\frac{π}{2}$）=$2\sqrt{2}cos$ϕ，
$|OC|=2\sqrt{2}sin$ϕ，$|OD|=2\sqrt{2}sin（$ϕ$+\frac{3π}{4}）$=$2\sqrt{2}cos（$ϕ+$\frac{π}{4}）$，
∴$|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（ϕ+\frac{π}{4}）sinϕ+8cos（ϕ+\frac{π}{4}）cosϕ$=$8cos\frac{π}{4}=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线的极坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，是中档题．