Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-t，0）（t＞0），B（t，0），点C满足$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=8，且点C到直线l：3x-4y+24=0的最小距离为$\frac{9}{5}$，则实数t的值是1．

Answer 1

分析 由题意求出C点的轨迹是以原点为圆心，以$\sqrt{8+{t}^{2}}$为半径的圆，再由点C到直线l：3x-4y+24=0的最小距离为$\frac{9}{5}$，转化为关于t的方程求解．

解答 解：设C（x₀，y₀），∵A（-t，0），B（t，0），$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=8，
∴（x₀+t，y₀）•（x₀-t，y₀）=8，即${{x}_{0}}^{2}-{t}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=8$，
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=8+{t}^{2}$，则点C在以原点为圆心，以$\sqrt{8+{t}^{2}}$为半径的圆上，
又点C到直线l：3x-4y+24=0的最小距离为$\frac{9}{5}$，
即$\frac{|24|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}-\sqrt{8+{t}^{2}}=\frac{9}{5}$，
∴$\sqrt{8+{t}^{2}}=3$，解得：t=±1，
∵t＞0，∴t=1．
故答案为：1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．