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已知圆

(Ⅰ)若过定点()的直线与圆相切,求直线的方程;

(Ⅱ)若过定点()且倾斜角为的直线与圆相交于两点,求线段的中点的坐标;

() 问是否存在斜率为的直线,使被圆截得的弦为,且以为直径的圆经过原点?若存在,请写出求直线的方程;若不存在,请说明理由。

 

(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)求过定点直线方程,要注意斜率不存在情况是否满足题意,本题可分类讨论,也可从设法上考虑斜率不存在,即设直线的方程为:再利用圆心到直线距离等于半径即可求出直线方程,(Ⅱ)求圆中弦中点,一可利用几何条件,即圆心与弦中点连线与直线垂直,从而弦中点就为直线与连线的交点,二可利用韦达定理,根据中点坐标公式求解,(Ⅲ)以为直径的圆经过原点,这一条件如何用,是解题的关键 一是利用向量垂直,二是利用圆系方程

试题解析:(Ⅰ)根据题意,设直线的方程为:

联立直线与圆的方程并整理得: 2

所以

从而,直线的方程为: 4

(Ⅱ)根据题意,设直线的方程为:

代入圆方程得:,显然 6

所以点的坐标为 8

(Ⅲ)假设存在这样的直线

联立圆的方程并整理得:

9

所以 10

因为以为直径的圆经过原点,所以

均满足

所以直线的方程为 13

(Ⅲ)法二:可以设圆系方程

则圆心坐标圆心在直线上,且该圆过原点。易得b的值

考点:直线与圆相切,弦中点,圆方程

 

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