Question

{a_n}是各项为正整数的等差数列，若公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的项，若a₁=2^m
（m∈N^*），则d的所有取值的和为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意可得d=

2m

k-p-q+1

，进一步分析可得d=1，2，4，…，2^m，利用等比数列的求和公式即可求得答案．

解答： 解：由题意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差数列的通项公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1）d，
整理得d=

a1

k-p-q+1

，
∵a₁=2^m（m∈N^*），∴d=

2m

k-p-q+1

，
又p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，即{a_n}中任意两项之和也是该数列中的项，
∴d=1，2，4，…，2^m，
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2^m=

1×(1-2m+1)

1-2

=2^m+1-1，
故答案为：2^m+1-1．

点评：本题考查等差数列的性质，分析求得d=1，2，4，…，2^m是关键，也是难点，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．